분류 전체보기69 이항 계수 항등식 이항 계수들의 합 자연수 $n$에 대하여, $$\displaystyle\sum_{k=0}^n{n \choose k}=2^n$$이 성립한다. pf) 이항정리 $$(1+x)^n={n \choose n}x^n+{n \choose n-1}x^{n-1}+\cdots+{n \choose 1}x+{n \choose 0}$$에서, $x=1$을 대입하면 바로 유도된다. $\blacksquare$ 파스칼 항등식 음이 아닌 정수 $r 2022. 9. 9. 르장드르 공식 르장드르 공식 $n!$은 소인수 $p$를 정확히 $$\displaystyle\sum_{k\ge 1} \lfloor\dfrac{n}{p^k}\rfloor$$번 포함한다. (여기서 $\lfloor n \rfloor$은 $n$를 넘지 않는 최대 정수를 의미한다.) 증명 $$n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdots n$$의 곱을 나타내는 인수들 중에 정확히 $\lfloor \frac{n}{p}\rfloor$개의 인수가 $p$로 나누어지며, 이들이 곧 $p$의 배수이다. 다음, $n!$의 인수들 중 $p^2$으로 나누어지는 인수의 개수는$\lfloor \frac{n}{p^2}\rfloor$이다. 이는 $n!$이 소인수 $p$를 $\lfloor \frac{n}{p^2}\rfloor$개 더 포함함을 의.. 2022. 9. 9. 바이어슈트라스 근사 정리 이번 포스팅에서는 바이어슈트라스 근사 정리를 증명해볼 것이다. (사실 너무 과하다 싶을 정도로 본문에 자세하게 설명하였다..) 바이어슈트라스 근사 정리 $f$가 $[a,b]$에서 연속인 복소함수라고 하면 $[a,b]$에서 함수 $f$로 균등수렴(Uniform Convergence)하는 다항함수열 $P_n$가 존재한다. 특히, $f$가 실함수이면 $P_n$도 실함수이다. 증명 일반성을 잃지 않고 $[a,b]=[0,1]$, $f(0)=f(1)=0$이라 가정할 수 있다. 첫 번째 가정은 원래함수를 $x$축 방향으로 $\frac{1}{b-a}$배 축소한 뒤에 이 함수로 균등수렴하는 다항함수열 $P_n$을 구하고 이 $P_n$을 $x$축 방향으로 $b-a$배 확대해도 상관없기 때문에 가능하다. 두 번째 가정의 경.. 2022. 9. 8. 이차함수의 넓이 이차함수의 그래프와 접선으로 둘러싸인 영역의 넓이 공식을 유도하자. 이차함수 $f(x)$에 대하여 $(\alpha, f(\alpha))$와 $(\beta, f(\beta))$를 지나는 직선의 방정식을 $g(x)$라 하자. 또한, 각 점에서 이차함수에 접하는 직선의 방정식을 각각 $l(x)$와 $k(x)$라 하자. $f(x)$와 $g(x)$로 둘러싸인 영역의 넓이를 $S_1$, $f(x)$와 $l(x)$, $k(x)$로 둘러싸인 영역의 넓이를 $S_2$라고 하자. 이제 이들의 식을 유도해보자. Step 1. 두 접선의 교점의 $x$좌표 구하기 $k\left(x\right)$, $l\left(x\right)$의 교점과 $g\left(x\right)$와 기울기가 같은 직선이 함수 $f\left(x\right).. 2022. 9. 5. 지수와 로그의 운명적 만남 안녕하세요. 명문 학술 EXPONENTIAL의 장 17 김지하 입니다. 보통 교과서에 있는 지수함수와 그 역함수인 로그함수의 그림은 위와 같을 것입니다. 그래서 우리는 우리도 모르는 사이에 자연스레 지수함수와 역함수는 만나지 않을 것이다라는 오개념을 가지게 됩니다. 실제로는 $a$의 값에 따라 교점의 개수가 $0$부터 $3$까지 변할 수 있습니다. 이 글에서는 이 관계에 대해 살펴보고 증명할 것입니다. 1. $a>1$ 우선 결론부터 말하자면 $a\in(e^{\frac{1}{e}},\infty):$ 교점 $0$개 $a=e^{\frac{1}{e}}:$ 교점 $1$개 $a\in(1,e^{\frac{1}{e}}):$ 교점 $2$개 입니다. $$e^{\frac{1}{e}}\approx1.4446678$$이기 때문.. 2022. 9. 4. 1959 IMO 이번 글에서는 1959년에 치루어진 첫 번째 IMO에서 출제된 6문제를 모두 살펴봅시다. 첫 번째 시험인 만큼 2022년 기준 난이도는 지나치게 쉽습니다. 필자 또한 30분도 안 걸려서 (6번을 제외한) 모든 문제들을 다 해결할 수 있었을 정도이므로, 풀이를 보기 전에 한번 도전해봅시다. 1959 IMO 1. 모든 자연수 $n$에 대하여 $$\dfrac{21n+4}{14n+3}$$이 기약분수임을 보여라. sol) 유클리드 호제법을 이용하여 분자와 분모의 최대공약수를 살펴보면, $$\begin{eqnarray} (21n+4,14n+3)&&=(7n+1,14n+3)\\&&=(7n+1,1)\\&&=1\end{eqnarray}$$ 따라서 분자와 분모는 서로소이기 때문에 주어진 수는 항상 기약분수이다. 1959 I.. 2022. 9. 3. 이전 1 ··· 6 7 8 9 10 11 12 다음
