분류 전체보기69 2023. 03. 09. 1. 각 변의 길이가 $a$, $b$, $c$이고 면적이 $A$인 삼각형에 대하여 $a^2+b^2+c^2 \ge 4\sqrt{3}A$임을 증명하여라. 2. 임의의 삼각형의 외접원과 내접원의 반지름 $R$, $r$에 대하여 $R \ge 2r$임을 증명하여라. 3. 삼각형 $\rm ABC$의 세 내각의 이등분선 $\rm AD$, $\rm BE$, $\rm CF$이 점 $\rm I$에서 만난다. 점 $\rm D$, $\rm E$, $\rm F$은 삼각형의 세 변 위에 있다. 이 때 $$\dfrac{1}{4} < \rm \dfrac{IA}{AD} \cdot \dfrac{IB}{BE} \cdot \dfrac{IC}{CF} \le \dfrac{8}{27}$$임을 증명하여라. Exponential 17 김지하 2023. 3. 9. 베르누이 부등식 베르누이 부등식 $-1$ 이상의 실수 $x$와 $0$ 이상의 정수 $r$에 대하여 $$(1+x)^r \ge 1+rx$$가 성립한다. 증명 1 수학적 귀납법 이용 1) $r=0$일 때는 $$(1+x)^0 \ge 1+0 \times x =1$$은 자명하게 성립한다. 2) $r=k$일 때 성립을 가정하면, $$(1+x)^k \ge 1+kx$$이다. $r=k+1$일 때는 $$\begin{aligned} (1+x)^{k+1} & =(1+x)^k(1+x) \\ & \ge (1+kx)(1+x) \\ & =1+x+kx+kx^2 \\ & \ge 1+(k+1)x \end{aligned}$$이므로 성립한다. $\blacksquare$ 증명 2 산술-기하평균 부등식 이용 $-1 \le x \le -1/n$인 경우에는 $$(1.. 2022. 11. 18. 펠 방정식 펠 방정식 양의 정수 $d$, $N$에 대하여, $x$, $y$에 대한 방정식 $$x^2-dy^2=N$$을 펠 방정식이라고 한다. 펠 방정식의 해법에는 연분수의 개념이 필수로 필요하다. 이제, $d$와 $N$의 조건에 따른 해법들을 알아보자. 먼저, $d$가 완전제곱수가 아니고 $N=\pm1$일 때는 다음 정리를 이용하여 해를 구할 수 있다. 정리 $d$가 완전제곱수가 아닌 양의 정수이고 $\sqrt{d}$의 연분수 전개의 제 $n$ 근사 분수를 $\frac{h_n}{k_n}$라 하자. 이때, $\sqrt{d}$의 연분수 전개의 순환마디의 길이를 $r$이라 하면, 자연수 $i$에 대하여 $$h_{ir-1}^2-dk_{ir-1}^2=(-1)^{ir}$$이 성립한다. 증명 자연수 $i$에 대하여 무리수 $\.. 2022. 11. 17. 황금비 공식 1. $$\varphi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$$ 2. $$\displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{(1+x^\varphi)^\varphi}dx=2^{\frac{1-\sqrt5}{2}}$$ pf) $$\begin{aligned} \dfrac{d}{dx}(1+x^\varphi)^{1-\varphi} & =\dfrac{\varphi(1-\varphi)x^{\varphi-1}}{(1+x^\varphi)^\varphi} \\ & =-\dfrac{x^{\varphi-1}}{(1+x^\varphi)^\varphi} \end{aligned}$$에서, $$\begin{aligned} & \displaystyle\int_0^1\dfrac{1}{(1+x^\varphi)^\varphi}dx .. 2022. 11. 7. 질-좋은 수학교육과정에 대한 논문 모음 1. 원의 넓이에 관련된 순환논법과 국소적 조직화 https://scienceon.kisti.re.kr/srch/selectPORSrchArticle.do?cn=JAKO200604623638660&dbt=NART [논문]원의 넓이에 관련된 순환논법과 국소적 조직화 본 논문에서는 학교수학에서 발견할 수 있는 순환논법의 예로서 고등학교 미분과 적분 교과서에서 정적분을 통해 원의 넓이를 구하는 과정에서 발견되는 순환논법을 수학적으로 분석하고, 학 scienceon.kisti.re.kr 미적분 교과서에는 원의 넓이를 $$2\displaystyle\int_0^1 \sqrt{1-x^2}$$로 구합니다. 이 적분값을 구하는 과정에서 $\sin x$의 도함수가 $\cos x$임을 사용하게 됩니다. 이것은 $$\disp.. 2022. 11. 6. 대칭미분의 확장 $\divideontimes$ 장문입니다. 총 6개의 절로 이루어져 있으며 1절을 제외한 각 절의 내용은 다소 독립적이므로 독자께서는 1절과 원하시는 부분만 골라 읽으셔도 됩니다. -목차 1. 개요 2. 대칭연속, 대칭미분의 의미 3. 집합의 포함 관계 4. 확장대칭미분 5. $n$계 대칭미분 6. 제언 1. 개요 우선 대칭미분이란 개념은 본래 누가 처음 제창했는지는 모르겠으나 2006학년도 서울대 심층면접 1번 문항에서 나왔습니다. 그 외에 다른 곳에서는 쓰이는 것이 안 보이는 것을 보아, 문제를 위해 만든 개념 같습니다. 본격적으로 내용을 전개하기 전에 우선 대칭미분에 관한 문제와 대칭미분의 확장에 대한 동기를 부여할 수 있는 문제를 살펴봅시다. 2006학년도 서울대 심층면접 1번 문항 함수 $f :.. 2022. 11. 5. 이전 1 ··· 4 5 6 7 8 9 10 ··· 12 다음
