분류 전체보기69 2023. 03. 23. 1. 주어진 집합 $A$와 $B$에 대하여, $A+B=\{a+b\mid a\in A$이고 $b\in B \}$라 정의하자. 다음 단계에 따라 $A$와 $B$가 공집합이 아닌 위로 유계인 집합일 때, $\sup(A+B)=\sup A+\sup B$임을 증명하라. (a) $s=\sup A$이고 $t=\sup B$라고 하자. $s+t$가 $A+B$에 대한 상계임을 보여라. (b) 이번에는 $a\in A$를 고정하고, $u$가 $A+B$의 임의의 상계라고 하자. $t\le u-a$임을 보여라. (c) 마지막으로 $\sup(A+B)=s+t$임을 보여라. (d) 방금 얻은 결과를 보조정리를 이용하여 증명하여라. 보조정리 $s\in\mathbb{R}$가 집합 $A\subset\mathbb{R}$의 상계라고 하자. $s.. 2023. 3. 24. 미분 0. Barrow's differential triangle 예를 들어, 함수 $y=x^2$ 위의 두 점 $A(p,q)$, $B(p+a,q+b)$가 있다고 하자. 이때 두 점의 좌표에서 $$\begin{align} q & =p^2 \\ q+b & = p^2+2ap+a^2\end{align}$$이다. 따라서 $b=2ap+a^2$이다. $a$가 $0$에 수렴할 때, $a^2$은 $a$에 비해 매우 작으므로 $b=2ap$, 따라서 $$\frac{b}{a}=2p$$ 즉, 함수 $y=x^2$은 $x$좌표가 $p$인 점에서의 접선의 기울기가 $2p$임을 알 수 있다. 이와 같은 방법인 Barrow's differential triangle은 현재 미분의 바탕이 되었다고 할 수 있다. 1. 미분의 정의 어떤 함수에서.. 2023. 3. 20. 2023. 03. 20. 1. $\displaystyle\int x\sin^2x \cos x \, dx$을 계산하여라. 2. $\displaystyle\int \dfrac{1}{1+\sin x} \, dx$을 계산하여라. 3. $\displaystyle\int \dfrac{1}{1+\sin x+\cos x} \, dx$을 계산하여라. Exponential 17 김태건 2023. 3. 20. 리만 제타 함수 $\mathrm{I}$. Reiman Zeta Function1. Definition리만 제타 함수는 복소수 $s$에 대하여 다음과 같이 정의된다.$$\zeta(s)=\sum_ {n=1}^\infty \frac{1} {n^s}$$ 2. Euler product오일러는 $$\zeta(s)=\sum_ {n=1}^\infty \frac{1} {n^s}=\prod_ {p} \frac{1} {1-p^{-s}}$$임을 증명하였다. 이때 $\prod_p$의 의미는 소수 $p$에 대하여 연산을 실행한다는 의미이다.증명 : $\zeta(s)=\frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\cdots$에서 $\frac{1} {2^s}\zeta(s)=\frac{1} {2^s}+\frac{1} .. 2023. 3. 16. 2023. 03. 15. 1. $\sin 69^\circ-\sin 3^\circ+\sin 39^\circ-\sin 33^\circ$을 구하여라. 2. $f$는 $x$ 근방에서 정의된 함수이다. $f''(x)$가 존재할 때, $$\lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}{h^2}=f''(x)$$임을 보여라. $f''(x)$가 존재하지 않지만 위의 극한은 가지는 예시를 하나 찾아라. Exponential 17 김지하, 최정원 2023. 3. 15. 2023. 03. 13. 1. 임의로 $s$개의 자연수를 고를 때 이들이 모두 서로소일 확률을 구하여라. 2. 소수의 조화급수가 발산함을 증명하여라. Exponential 17 김지하 2023. 3. 13. 이전 1 ··· 3 4 5 6 7 8 9 ··· 12 다음
