라그랑주 네 제곱수 정리
라그랑주 네 제곱수 정리 임의의 양의 정수 $n$에 대하여, 다음을 만족하는 4개의 음이 아닌 정수 $x$, $y$, $z$, $w$가 존재한다. $$n=x^2+y^2+z^2+w^2$$ 증명에는 보조정리 2개가 사용됩니다. 보조정리 1 자연수 $m, n$이 네 개의 제곱수의 합으로 표현된다면, $mn$도 그러하다. pf) 자연수 $a$, $b$, $c$, $d$, $x$, $y$, $z$, $w$에 대하여 $$\begin{aligned} m & =a^2+b^2+c^2+d^2 \\ n & =x^2+y^2+z^2+w^2\end{aligned}$$라 하자. 그러면 오일러의 네 제곱수 항등식(https://kimjiha.tistory.com/24)에 의하여, $$ \begin{align} & \left(a^2+..
2022. 10. 24.
베르트랑 공준
베르트랑 공준 모든 자연수 $n$에 대하여, $n < p \le 2n$을 만족하는 소수 $p$가 존재한다. 증명 크게 7단계로 나누었다. Step 1. $n \le 4000$에 대하여 베르트랑의 공준이 성립함을 실험적으로 확인하자. 바로 앞의 소수의 $2$배보다 작은 소수들의 수열 $$2, 3, 5, 7, 13, 23, 43, 83, 163,$$ $$317, 631, 1259, 2503, 4001$$이 존재한다. 따라서 $n\le 4000$에 대하여 구간 $\left( n,2n \right]$은 위의 $14$개의 소수들 중 하나를 포함하므로, 베르트랑의 공준이 성립한다. Step 2. $2$ 이상인 자연수 $a$에 대하여 $a+1
2022. 9. 10.
