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Curl의 의미와 스토크스 정리 증명 스토크스 정리는 발산 정리와 함께 물리학에서 굉장히 자주 쓰이는 정리 중 하나입니다. 이번 글에서는 Curl이 왜 회전을 의미하는지, 또 이를 이용해서 스토크스 정리를 증명해보고자 합니다.2차원에서 회전비율을 어떤 식으로 나타낼 수 있을까요? Curl의 정의를 알아보기 위한 기본 아이디어는 다음과 같습니다. 경계 주변에서 함수 F의 회전 비율은 각 속도의 접선 방향의 흐름과 변 길이의 곱의 합이다.이를 다음과 같은 상황에 적용 시킵니다. 다음과 같이 벡터함수 (F=M(x,y))(\textbf{i}+N(x,y))(\textbf{j}) 가 주어졌을때 각 변에서 접선 방향의 흐름과 변 길이의 곱을 구해보면 다음과 같습니다. Top : $F(x,y+\Delta y)\cdot (-\textbf{i})\De.. 2025. 12. 16.
Divergence의 의미와 발산 정리 증명 발산 정리는 수학적으로 유도되는 공식이지만 물리학에서도 자주 사용되는 중요한 적분 공식들 중 하나입니다. 우선 발산 정리의 증명에 대해 알아보기 전에 먼저 Divergence의 수학적 의미에 대해서 알아보고 가도록 하겠습니다. 벡터장((\text{Vector Field})) 토마스 미분적분학에 나와있는 벡터장의 정의는 다음과 같습니다. 위에서 말하는 바에 따르면 움직이는 유체에 의해 점유된 평면 혹은 공간이 있다고 가정했을 때 그 유체는 무수히 많은 입자들로 구성되어 있습니다. 각각의 입자는 v라는 속도를 가지고 있고 그 속도들은 변할 수 있습니다. 이러한 유체의 흐름을 벡터장의 예로 들수 있습니다. 쉽게 말하자면 기존의 스칼라 함수와는 달리 각각의 좌표에 대응되는 것이 벡터라는 점이라는 것입니다. .. 2025. 9. 9.
Proof without words Proof without words는 말그대로 수학 공식을 단어를 사용하지 않고 증명하는 방법이다. 주로 그림을 이용하며, 수식은 최소한으로 쓰인다. Proof without words는 자연어 사용이 없으며 수식 사용도 지양하므로, 일반적인 증명에 비해 논리에 결함이 있다. 즉, 증명 단계에 많은 생략이 일어나며, ‘증명’의 정의를 고려하면 Proof without words는 엄밀한 의미의 ‘증명’이라고 보기 어려울 수 있다. 그럼에도 증명 흐름을 한눈에 보여준다는 점에서 수학 학습자에게 유의미한 학습 도구라는 것은 분명하다. 미국의 수학자 Roger B. Nelsen 교수가 쓴 도서 《Proof without words》는 각 증명을 한 수학자의 이름과 함께 Proof without words 방.. 2025. 7. 24.
곡률과 법선 벡터 * 공간곡선(space curve)$ f, g, h $가 구간 $I$에서 연속인 실숫값 함수일 때, $t$가 구간 $ I $ 전체에서 변한다고 하면, $ x = f(t) $, $ y = g(t) $, $ z=h(t) $를 만족하는 모든 점 $ (x, y, z) $의 집합 $ C $을 공간곡선이라 한다. * $ C $의 매개변수방정식: $ x = f(t) $, $ y = g(t) $, $ z=h(t) $ * $ t $: 매개변수(parameter), $ t $를 시각 또는 시간으로 생각하면 시간에 따라 공간곡선 $ C $가 그려지는 것으로 생각. * 벡터함수 $ \textbf{r}(t) = f(t)\textbf{i} + g(t) \textbf{j} + h(t) \textbf{k} $ $ = (f(t), $.. 2025. 7. 23.
위상자법 위상자법이란 삼각함수를 회전하는 벡터로 생각하는 방법입니다. 이 방법은 주로 물리학이나 파동 광학에서 사용됩니다. 위상자법은 쉽게 말해서 사인에 관해서는 일단 벡터로 나타낸 후 y 성분만 따오고, 코사인은 x 성분만 따온다고 생각하시면 됩니다. 위상자법을 사용하는 이유는 삼각 함수의 합성을 보다 쉽게 할 수 있기 때문입니다. 각각의 벡터는 좌표에 대응되기 때문에 벡터 합하듯이 삼각함수를 더해줌으로써 복잡한 계산을 피하고 보다 직관적이고 쉽게 삼각함수의 합을 구할 수 있다는 장점이 있습니다. 여기서 예제를 풀어보도록 하겠습니다. 만약에 크기가 서로 같은 (0아님) 서로 다른 벡터의 합이 0이 되려면 어떤 조건이 필요할까요? 답은 세개의 벡터가 120도를 이루어야 한다는 것입니다. 이를 실제로 계산을 통.. 2025. 7. 22.
최대 최소 정리 최대 최소 정리의 엄밀한 증명에 대해 알아보자. 1. 집합족집합들을 원소로 가지는 집합을 의미한다. (F, 실제 기호는 다르지만 이하에서 이렇게 다룸)집합 X속의 집합족은 X의 멱집합 $P(X)$의 부분집합 $\mathcal{F} \subset \mathcal{P}(X)$ 2. 덮개집합 X의 덮개는 다음 조건을 만족하는 집합족 $X = \bigcup \mathcal{C}$ 이다. X의 덮개는 다음과 같이 표현된다.$\text{Cover}(X) = \{ C \subseteq \mathcal{P}(X) : \bigcup C = X \}$1)열린덮개:집합족의 C의 각 원소를 $O_{a}$ 즉, $C = \{ O_a \mid a \in I \}$ 라 했을 때 $O_{a}$가 모두 개집합일때 C를 X의 열린 덮.. 2025. 7. 15.

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