아이젠슈타인 판정법
아이젠슈타인 판정법 정수 계수 다항식 $$P(x)=a _{n} x ^{n} +a _{n-1} x ^{n-1} + \cdots +a _{1} x+a _{0}$$(단, $n \in \mathbb{N}$)에 대하여 다음 조건을 만족하는 소수 $p$가 존재하면, $P(x)$는 정수 계수 범위에서 기약다항식(더 이상 인수분해 되지 않는 다항식)이다. $$\begin{eqnarray} && p \nmid a_n \\ && p\mid a _{n-1},\,a _{n-2},\, \cdots,\, a _{2},\,a _{1} \\ && p ^{1} \mid \mid a _{0} \end{eqnarray} $$ 증명 귀류법으로, 정수 계수 다항식 $P(x)$에 대하여 위의 조건을 만족하는 소수 $p$가 존재하고, $P(x)..
2022. 8. 10.
젠센 부등식의 활용 : 삼각함수
먼저, 구간별 삼각함수의 볼록성을 살펴보자. sin 함수의 볼록성 $f(x)=\sin x$라 두고 볼록성을 확인하기 위하여 두 번 미분하면 $f''(x)=-\sin x$이다. 이때, $(0,\pi)$에서 $-\sin x0$, $\dfrac{\sin\sqrt x}{\cos\sqrt x}>\sqrt x$ 즉, $$\tan X>X$$인 구간을 찾아야 한다. (이때, $X=\sqrt x,\,x=X^2$) $(0,\frac{\pi}{2})$에서 함수 $g(x)=\tan x-x$을 잡으면, $$g'(x)=\sec^2 x-1>0$$ 이므로 $g(x)$는 증가함수이다. $g(0)=0$이므로, $(0,\dfrac{\pi}{2})$에서 $g(x)>0$ 따라서 $(0,\frac{\pi}{2})$에서 $$\dfrac{\sin..
2022. 8. 8.
